求矩阵逆阵的方法是什么?已知矩阵如何求它的逆阵?
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将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=[A|I]对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。
如果矩阵A和B互逆,则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。
也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是方阵,且rank(A) = rank(B) =n)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。
扩展资料:
性质:
1、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
2、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
3、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
4、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
已知一个矩阵,怎样求它的逆阵
运用初等行变换法。具体如下:
将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=[A,I]对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。
如求
的逆矩阵
故A可逆并且,由右一半可得逆矩阵A^-1=
扩展资料:
逆矩阵的性质:
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)。
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
a的逆矩阵怎么算?
将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵
对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若百干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。
如求
的逆矩阵A-1。
故A可逆并且,由右一半可得逆矩阵A-1=
可逆矩阵的性质定理
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一回的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个答可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
求逆矩阵(用初等变换法)
具体回答如下:
设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。
性质定理:
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
扩展资料:
若|A|≠0,则矩阵A可逆,且其中,A*为矩阵A的伴随矩阵。
证明:
必要性:当矩阵A可逆,则有AA-1=I 。(其中I是单位矩阵)
两边取行列式,det(AA-1)=det(I)=1。
由行列式的性质:det(AA-1)=det(A)det(A-1)=1则det(A)≠0,(若等于0则上式等于0)
充分性:有伴随矩阵的定理,有 (其中 是的伴随矩阵。)
当det(A)≠0,等式同除以det(A),变成
比较逆矩阵的定义式,可知逆矩阵存在且逆矩阵
参考资料:――逆矩阵